$ A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)$
$ C_n^m = {A_n^m \over m!}$
$ A_6^2 = 6*5 = 30, \;$ 关注组合顺序
$ C_6^2 = {6*5 \over 2!} = {30 \over 2} = 15, \;$ 不关注组合顺序
$0! = 1, C_n^0 = 1, C_n^n = 1$
$C_n^m = {n! \over m!(n-m)!}$
$C_n^m = C_n^{n-m}$
$nC_{n-1}^{m-1} = mC_n^m$
$C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m=C_n^m$
$C_k^k + C_{k+1}^k + C_{k+2}^k + \cdots + C_N^k = C_{N+1}^{k+1}$
二项式展开式
$$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^nC_n^kx^{n-k}y^k = C_n^0x^ny^0 + C_n^1x^{n-1}y + C_n^2x^{n-2}y^2 + \cdots + C_n^{n-1}x^1y^{n-1} + C_n^nx^0y^n $$
二项式展开式的矩阵形式
$$ (x+y)^n = \begin{bmatrix} a^0 & \cdots & a^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_n^0 \\ & \ddots \\ & & C_n^m \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} & & 1 \\ & \vdots \\ 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_0 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{bmatrix} $$
二项式中y=1时
$$ (1+x)^n = \sum_{k=0}^nC_n^kx^k = C_n^0x^0 + C_n^1x^1 + C_n^2x^2 + \cdots + C_n^{n-1} + C_n^nx^n $$
$$ e = lim_{n\to \infty}(1+\frac 1n)^n $$
$$ (1+x)^n = C_n^0x^0 + C_n^1x^1 + C_n^2x^2 + \cdots + C_n^{n-1}x^{n-2} + C_n^nx^n $$
计算其中第k项的极限
$$ lim_{n\to \infty}C_n^k{1 \over n^k} = lim_{n\to \infty}{1 \over k!}*{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1) \over n^k} = {1 \over k!} $$
计算e的近似值： $$ e = \sum_{k=0}^{\infty}{1 \over k!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + \cdots \approx 2.71828 $$
n为非正整数...
(1) 交换律：$A\cup B = B\cup A$
(2) 结合律: $A\cup (B\cup C) = A\cup (B\cup C)$
$\;\; \quad \quad A\cap (B\cap C) = A\cap (B\cap C)$
(3) 分配律：$A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)$
$\;\; \quad \quad A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)$
(4) 德摩根律：$\overline{A\cup B} = \overline A \cap \overline B ;$
$\;\; \quad \quad \overline{A\cap B} = \overline A \cup \overline B ;$
(5) $A_iA_j=\varnothing, i\neq j, i,j=1,2,\cdots; P(A_1\cup A_2\cup \cdots) = P(A_1)\cup P(A_2)\cup \cdots; $
(1) 在1-2000的整数中随机取一个数，问取到的整数不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？
解： 设事件A取到被6整除的数， 事件B是取到被8整除的数，概率为：
$$ P(\overline A \overline B) = P(\overline{A\cup B)} = 1 - P(A\cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(AB)] $$
$$ 333 \lt {2000\over 6} \lt 334; 故得： P(A) = {333\over 2000}; $$
$$ {2000\over 8} = 250; 故得： P(B) = {250\over 2000}; $$
$$ 83 \lt {2000\over 24} \lt 84; 故得： P(AB) = {83\over 2000}; $$
$$ 所求概率p = 1 - [P(A) + P(B) - P(AB)] = 1 - [{333\over 2000} + {250\over 2000} - {83\over 2000}] = \frac 34 $$
将一枚硬币抛两次，事件A为“至少有一次为H”, 事件B为“两次抛出同一面”, 求已知事件A发生时事件B发生的概率
样本空间为 S = {HH, TH, TH, TT}, A = {HH, HT, TH}, B = {HH, TT}
A中有三个元素，只有$HH \in B$，故得事件A发生时B发生的概率为：
$$ \begin{array}{c} P(B|A) = \frac 13 \\ P(A) = \frac 34，P(AB) = \frac 14，P(B|A) = \frac 13 = \frac {\frac 14}{\frac 34} \\ \end{array} $$
故有
$$ \begin{array}{c} P(B|A) = {P(AB) \over P(A)} \\ P(B_1\cup B_2|A) = P(B_1|A) + P(B_2|A) - P(B_1B_2|A) \\ \end{array} $$
设P(A) > 0, 则有：
$$ P(AB) = P(B|A)P(A) $$
设P(AB) > 0, 则有：
$$ P(ABC) = P(C|AB)P(B|A)P(A) $$
A和B同时发生的概率 $$P(AB) = P(BA) = \begin{cases} P(A) * P(B|A), & A发生 * A发生的条件下B发生\\ P(B) * P(A|B), & B发生 * B发生的条件下A发生\\ \end{cases} $$ 推导出公式： $$ P(B|A) = {{P(B)P(A|B)} \over P(A)} $$
检测结果的可靠度是99%, 即：
吸毒者每次检测呈阳性的概率是99%
不吸毒者每次检测呈阴性的概率是99%
某公司对全体雇员进行吸毒检测
已知0.5%的雇员吸毒
请问每次检测结果呈阳性的雇员吸毒的概率有多高？
$$ P(吸毒|检测=阳性) = {P(吸毒)*P(检测=阳性|吸毒) \over P(检测=阳性) }$$ $$ P(吸毒|检测=阳性) = {0.005 * 0.99 \over (0.995*0.01 + 0.005*0.99) } = 0.3322$$ 贝叶斯定理告诉我们：尽管检测的准确率高达99%, 某人检测呈阳性，其吸毒的可能性并不高
定义：S为实验E的样本空间，B1,B2,B3,...为E的一组事件
$ B_iB_j = \varnothing, i\neq j, i,j=1,2,3,\cdots,n $
$ B_1\cup B_2 \cup B_3 \cdots \cup B_n = S $
$$ P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)P(B_n) $$
$$ P(B_i|A) = {P(A|B_i)P(B_i) \over \sum_{j=1}^nP(A|B_j)P(B_j)}, i = 1,2,\cdots,n $$
$$ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline B)P(\overline B) $$ $$ P(B|A) = {P(AB) \over P(A)} = {P(B|A)P(A) \over {P(A|B)P(B) + P(A|\overline B)P(\overline B) }} $$
美国总体患肺癌的概率约为0.1%, 在人群中有20%是吸烟者，患肺癌的概率约为0.4%，求不吸烟患肺癌的概率是多少？
事件A记患肺癌，P(A) = 0.001
事件B记吸烟, P(B) = 0.2
吸烟患肺癌，P(A|B) = 0.004
全概率公式有：
$$ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline B)P(\overline B) $$ $$ 0.001 = 0.004 * 0.2 + P(A|\overline B) * 0.8 $$
不吸烟患肺癌的概率
$$ P(A|\overline B) = {{0.001 - 0.004 * 0.2} \over 0.8} = 0.00025 $$
机器调整良好时，良品率是95%; 而机器发生故障时，良品率为55%. 每天机器调整良好的概率是95%,. 当生产的第一件是良品时，机器调整良好的概率是多少？
事件A为产品合格， 事件B是机器调整良好，故：
$ P(A|B) = 0.98, P(A|\overline B) = 0.55, P(B) = 0.95, P(\overline B) = 0.05 $
产品合格时，机器调整良好的概率是：
$$ P(B|A) = {P(A|B)P(B) \over P(A|B)P(B) + P(A|\overline B)P(\overline B)} = {0.98 * 0.95 \over 0.98 * 0.95 + 0.55 * 0.05} = 0.97 $$
When $a \ne 0$, there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$
\begin{align} \dot{x} & = \sigma(y-x) \\ \dot{y} & = \rho x - y - xz \\ \dot{z} & = -\beta z + xy \end{align}